(в этой группе ровно один член), чуть меньше шокирует выпадение при случайном броске одной решки (группа со 100 членами), еще чуть меньше шокирует обнаружение двух решек (группа с 4950 членами), но бросок, давший половину орлов и половину решек, заставит вас только зевнуть (в этой группе сто миллиардов миллиардов миллиардов членов). Чем больше элементов в заданной группе, тем с большей вероятностью случайный бросок даст результат, относящийся именно к этой группе. Размер группы имеет значение.

Если этот материал вам не знаком, то вы, может быть, не понимаете, что мы только что проиллюстрировали важную концепцию энтропии. Энтропия заданной конфигурации монет — это размер соответствующей группы, число конфигураций, практически неотличимых от заданной9. Если похожих конфигураций много, данная конфигурация имеет высокую энтропию, если мало — низкую. При прочих равных условиях результат случайного броска скорее попадет в группу с высокой энтропией, поскольку в этой группе больше членов.

Эта формулировка также связана с бытовым употреблением слова «энтропия», о котором я упоминал в начале раздела. Интуитивно беспорядочные конфигурации (представьте себе письменный стол, хаотически заваленный документами, ручками и скрепками) обладают высокой энтропией, потому что предметы в них можно организовать множеством способов, при которых итоговая раскладка будет выглядеть практически одинаково; если случайным образом переложить беспорядочную конфигурацию, она все равно будет выглядеть беспорядочной. Упорядоченные конфигурации (представьте безупречно чистый стол, на котором все документы, ручки и скрепки аккуратно разложены по местам) обладают низкой энтропией, поскольку существует очень немного вариантов раскладки вещей, при которых вся система будет выглядеть так же. Как и в случае с монетами, высокая энтропия выглядит привлекательно, потому что беспорядочных раскладок гораздо больше, чем упорядоченных.

Энтропия: факты

Монеты особенно полезны, потому что прекрасно иллюстрируют подход, при помощи которого ученые разбираются с большими наборами частиц, составляющих физические системы, будь то молекулы воды, снующие туда-сюда в горячей паровой машине, или молекулы воздуха, летающие по комнате, где вы сейчас дышите. Как и с монетами, мы игнорируем детальную информацию об отдельных частицах (не важно, находится ли конкретная молекула воды или воздуха в каком-то определенном месте) и вместо этого группируем конфигурации частиц, которые выглядят практически одинаково. Для монет критерием одинаковости конфигураций служит соотношение орлов и решек, и, поскольку нас, как правило, не интересует, как легла конкретная монета, мы обращаем внимание только на общий вид конфигурации. Но что означает «конфигурации выглядят практически одинаково» для большого набора молекул газа?

Представьте себе воздух, наполняющий сейчас вашу комнату. Если вы похожи на меня и на остальных людей, то вам совершенно все равно, пролетает ли в настоящий момент вот эта молекула кислорода мимо окна или отскакивает ли вон та молекула азота от пола. Вам важно лишь, чтобы каждый раз при вдохе в легкие попадал достаточный для ваших нужд объем воздуха. Впрочем, есть еще пара характеристик, которые вас, скорее всего, интересуют. Если бы температура воздуха была так высока, что он сжег бы ваши легкие, вам бы это не понравилось. Или если бы давление воздуха было таким высоким (и вы не выровняли его с давлением воздуха, уже находящегося в ваших евстахиевых трубах), что у вас лопнули бы барабанные перепонки, вам бы это тоже не понравилось. Таким образом, вас интересует объем воздуха, его температура и давление. И кстати, это те самые макроскопические свойства, которые интересуют физиков со времен Максвелла и Больцмана по сей день.

Соответственно, для относительно большого набора молекул в некоторой емкости мы говорим, что различные конфигурации выглядят практически одинаково, если они наполняют один и тот же объем, имеют одинаковую температуру и оказывают одинаковое давление. Как с монетами, мы группируем похожие конфигурации молекул и говорим, что каждый член группы порождает одно и то же макросостояние. Энтропией макросостояния является число таких похожих конфигураций. Предполагая, что вы в настоящий момент не включаете комнатный обогреватель (влияющий на температуру), не устанавливаете в комнате непроницаемую перегородку (что изменило бы объем) и не закачиваете в комнату дополнительный кислород (что изменило бы давление в ней), постоянно изменяющиеся конфигурации молекул воздуха, порхающих туда-сюда по комнате, в которой вы в настоящий момент находитесь, можно отнести к одной и той же группе — они все выглядят практически одинаково, — поскольку все они приводят к совершенно одинаковым макроскопическим параметрам, которые вы и наблюдаете.

Разбивка по группам схожих конфигураций — это необычайно мощный подход. Случайным образом брошенные монеты с большей вероятностью попадают в группу с большим количеством членов (с более высокой энтропией), и точно так же обстоит дело со случайным образом мечущимися в ограниченном объеме частицами. Понимание этого настолько же просто, насколько далеко идущие последствия все это имеет. Где бы ни находились частицы — в котле паровой машины, в вашей комнате или где угодно еще, — понимание типичных свойств самых обычных конфигураций (тех, что принадлежат к группам с самым большим количеством членов) позволяет нам предсказывать макроскопические свойства системы — те самые, что важны для нас. Конечно, это статистические предсказания, но вероятность того, что они окажутся точными, фантастически высока. А главное, мы добиваемся всего этого, избегая непреодолимой сложности анализа траекторий абсурдно большого количества частиц.

Таким образом, чтобы выполнить программу, нам необходимо отточить умение определять обычные (высокоэнтропийные) конфигурации частиц в противовес редким (низкоэнтропийным). То есть при заданном состоянии физической системы нам нужно определить, много или мало существует перестановок составляющих ее частей, при которых система по виду останется прежней. В качестве примера заглянем в наполненную паром ванную комнату сразу после того, как вы закончили нежиться под горячим душем. Чтобы определить энтропию пара, нужно посчитать число конфигураций молекул — их возможные положения и возможные скорости, — имеющих одинаковые макроскопические свойства, то есть одинаковый объем, температуру и давление 10. Провести математический подсчет для набора молекул H2O намного сложнее, чем для набора одинаковых монет, но делать это большинство студентов-физиков научаются ко второму курсу. Проще да и полезнее разобраться в том, какое качественное влияние объем, температура и давление оказывают на энтропию.

Сначала объем. Представьте, что порхающие молекулы H2O собрались плотной кучкой в одном крохотном уголке вашей ванной и образовали там плотный комок пара. В такой конфигурации возможные перестановки молекул будут резко ограничены: передвигая молекулы воды в пространстве, вы должны будете удерживать их в пределах комка, иначе модифицированная конфигурация будет отличаться от первоначальной. В сравнении с этим при равномерном распределении пара по ванной игра в перестановки получится куда свободнее. Вы сможете менять местами молекулы, плавающие возле зеркала, с теми, что летают у светильника, а те, что летают вдоль занавески, с теми, что