Все игры, о которых мы говорили до этого, можно обобщить еще больше: будем считать, что фишки лежат не в одной кучке, а в нескольких. Число кучек произвольное и конечное. В начале игры Ним фишки на столе лежат в нескольких кучках. Число фишек в кучках может отличаться. По правилам на каждому ходу игрок может брать минимум одну и максимум все фишки из выбранной кучки. Выигрывает тот, кто берет последнюю фишку. Также можно поменять правила и считать проигравшим того, кто должен взять последнюю фишку.

В начале игры на столе три кучки, состоящие из 1, 3 и 5 фишек. На каждом ходу игрок берет любое число фишек из выбранной кучки (минимум одну фишку, максимум все). Выигрывает тот, кто забирает последнюю фишку. Для какого игрока существует выигрышная стратегия?

Анализ игры позволяет увидеть, что такая стратегия существует для первого игрока, но из всех возможных начальных ходов только один гарантирует победу. Если читатель попрактикуется в этой игре, то увидит, что ни одному из игроков не выгодно делать следующие ходы:

Если игрок А выполняет ход 1, игрок Б забирает все фишки из третьей кучки и выигрывает, симметрично повторяя ходы соперника. Если игрок А забирает из одной кучки гг фишек, игрок Б забирает столько же фишек из другой, и, когда А заберет все фишки из одной кучки, игрок Б заберет все фишки из другой и выиграет. Аналогично если игрок А совершит ход 2, то Б заберет нужное число фишек из той кучки, в которой их осталось больше. На столе останутся две одинаковые кучки, и игрок Б снова одержит победу, действуя как в предыдущем случае. Поэтому победу одерживает тот, кто заставит противника совершить один из двух «запрещенных» ходов. В рассматриваемом случае, если первый игрок берет 3 фишки из кучки, в которой 5 фишек, на столе останутся три кучки с 1, 2 и 3 фишками. Первый игрок выигрывает, так как его соперник будет вынужден или взять все фишки из одной кучки, или уравнять число фишек в двух кучках (оставив в них по 1 или по 2 фишки).

Очевидно, что это слишком частный случай и его сложно обобщить на произвольное число кучек и даже для трех кучек, но с большим числом фишек. Несмотря на это, математические методы позволяют найти выигрышную стратегию общего вида, применимую для любого количества кучек и фишек в каждой из них. Для этого нужно записать число фишек в каждой кучке в двоичной системе так, чтобы единицы были записаны под единицами. Каждым ходом четность как минимум в одном из столбцов будет меняться, так как после каждого хода будет изменяться только одно из чисел в одном или нескольких столбцах. Как минимум одна из цифр изменится с 1 на или наоборот. Если в начальном расположении фишек сумма всех цифр каждого столбца четна, существует выигрышная стратегия для второго игрока: он должен ходить так, чтобы после хода сумма цифр во всех столбцах была четной. Первый игрок не может сделать такой ход. Если же хотя бы в одном столбце сумма цифр нечетна, то выигрышная стратегия существует для первого игрока: первым ходом он сможет сделать сумму цифр во всех столбцах четной и довести игру до победы.

Чтобы лучше понять суть этой стратегии, рассмотрим несколько примеров. Сначала мы рассмотрим три кучки с 1, 3 и 5 фишками (это игра 4, которую мы решили ранее). Затем мы перейдем к более привычной версии игры Ним под названием Мариенбад. В ней четыре кучки с 1, 3, 5 и 7 фишками.

В первом случае число фишек в кучках равно 1, 3 и 5.

Сложим единицы в каждом столбце и увидим, что сумма цифр каждого столбца нечетная (справа налево: 3, 1 и 1). В этом случае существует выигрышная стратегия для первого игрока. Для этого ему нужно ходить так, чтобы суммы цифр во всех столбцах оставались четными. Единственный способ сделать это — забрать фишки из кучки, где их 5 (101), оставив 2 (10), то есть забрать 3 фишки из кучки с 5 фишками. Получим:

Теперь сумма цифр в каждом столбце четная. Любой ход второго игрока сделает сумму цифр в одном из столбцов нечетной. После этого первый игрок сможет снова сделать все суммы цифр четными и так далее до финального положения. В финальном положении все цифры будут равны 0. Ноль — четное число, то есть суммы цифр во всех столбцах снова будут четными.

На столе четыре кучки фишек. В кучках лежат 1, 3, 5 и 7 фишек. На каждом ходу игрок берет любое число фишек из выбранной кучки (минимум одну фишку, максимум все). Выигрывает тот, кто забирает последнюю фишку. Для какого игрока существует выигрышная стратегия?

Аналогично предыдущему случаю получим:

Так как в начальной позиции суммы цифр в каждом столбце четные, первый игрок не может выиграть. Выигрышная стратегия существует для второго игрока. Любой ход первого игрока сделает сумму цифр хотя бы в одном столбце нечетной. Допустим, что первый игрок взял одну фишку из кучки с тремя фишками. Получим:

Теперь второй игрок должен сделать такой ход, чтобы сумма цифр в правом столбце стала четной, а остальные не изменились, так как они уже четные. Значит, нужно взять одну фишку из любой кучки, кроме второй. В двоичной системе это означает, что нужно заменить 1 на в правом столбце.

Хотя