числа. В главе 3 мы присмотримся к этому обстоятельству повнимательнее.

Что означают десятичные числа?

Привычная нам десятичная система счисления удобна и работает отменно, почти без перебоев. Она хорошо подходит для записи целых чисел. 235 – это компактный способ сказать «две сотни, три десятка и пять единиц». Или, на языке математики:

235 = 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1.

Для некоторых дробных величин десятичная система счисления также чрезвычайно эффективна. Возьмем число 3/4. В десятичной системе его можно записать так: 0,75. Эта запись означает:

Десятичная дробь 0,75 в точности равна 3/4.

Тем не менее если мы предпримем попытку записать 2/7 в виде десятичной дроби, то потерпим фиаско. Если мы попробуем разделить два на семь с помощью калькулятора, то получим неприглядное 0,28571429, причем это будет лишь приближенное значение, не равное в точности 2/7.

Такие числа, как 3/8, могут быть представлены в виде десятичной дроби, потому что знаменатель в них легко представить в виде одной из степеней десятки: 3/8 = 375/1000. Но нельзя найти целое число A, для которого выполнялось бы условие:

так как это подразумевает 2 × 10ⁿ = 7 × A. Ни одно целое число A не подходит в качестве решения уравнения, потому что левая сторона не делится на 7, а правая сторона делится. Представить 2/7 в качестве десятичной дроби невозможно. Если только не…

Десятичные дроби с бесконечным числом символов

Идея десятичной дроби с бесконечным числом символов содержит в себе один подвох, и сейчас мы выясним, какой именно. Вернемся к началу главы: что означает 0,99999… и почему оно равно 1?

Для начала давайте представим 0,999999… не как одно число, а как ряд чисел, где каждое следующее – это предыдущее с приделанной справа цифрой 9. Вот как выглядит такой ряд:

0,9 0,99 0,999 0,9999 … (*)

и так далее ad infinitum[38]. Ясно, что элементы ряда (*) постоянно возрастают. Каждый следующий элемент пусть ненамного, но больше предыдущего.

Докажем два факта:

1. Все элементы возрастающего ряда (*) меньше 1.

2. Тем не менее для любого числа x, которое меньше 1, рано или поздно отыщется элемент ряда (*), превышающий x.

Представим элементы ряда (*) в виде обыкновенных дробей:

Есть компактный способ записать эти дроби. Знаменатели представляют собой степени десяти: 101, 10², 10³ и т. д. Каждый числитель на единицу меньше соответствующего ему знаменателя. Перепишем ряд снова:

Очевидно, что n-ный элемент ряда будет выглядеть так:

Легко убедиться, что все члены ряда (*) меньше 1, потому что числитель всякий раз оказывается меньше знаменателя.

Теперь докажем второе утверждение: если число x меньше 1, рано или поздно найдется элемент ряда (*), превышающий x.

Так как x меньше 1, разность (1 – x) положительна. Даже если x невероятно близок к единице, разница между ними будет мизерная, но положительная. Умножим (1 – x) на одну из степеней десяти:

10ⁿ × (1 – x).

Так как разность (1 – x) положительна, это произведение будет больше 1, если 10ⁿ достаточно велико[39]:

10ⁿ × (1 – x) > 1.

Раскроем скобки:

10ⁿ – 10ⁿx > 1,

перенесем 1 в левую часть, а 10ⁿx в правую:

10ⁿ – 1 > 10ⁿx,

поделим обе части на 10ⁿ:

Что мы выяснили? С одной стороны, все элементы интересующего нас возрастающего ряда меньше 1. С другой стороны, какое бы число x меньше единицы мы ни взяли, рано или поздно возникнет элемент ряда, превышающий x (а последующие будут нарастать и все больше удаляться от x).

Наш ряд неуклонно приближается к 1. Математики говорят, что этот ряд стремится к 1. Или, что то же самое, 1 представляет собой предел ряда.

Значение десятичной дроби с конечным числом символов – это сумма определенного количества десятых, сотых, тысячных и т. д. Например:

К сожалению, язык десятичных дробей с конечным числом символов слишком скуден, чтобы выразить, например, 2/7. Поэтому нам необходимо расширить лексикон.

Значение десятичной дроби с бесконечным числом символов равно пределу ряда, где на каждой ступени элемент прирастает на одну цифру. Это сложно, однако дает нам возможность выражать все числа, используя десятичную систему счисления.

Уходим в беспредел!

Нужно приложить определенные усилия, чтобы увидеть в бесконечной десятичной дроби предел ряда. Попробуем посмотреть проще.

Вернемся к знакомому нам 0,999999… Пусть:

X = 0,999999… (A)

Умножим обе части равенства на 10:

10X = 9,999999… (B)

Вычтем (A) из (B):

9X = 9,000000…

Теперь поделим обе части на 9 и убедимся, что X = 1. Готово! Все оказалось просто.

Этот фокус можно повторить для любой периодической десятичной дроби. Например:

Y = 0,27272727… (C)

Умножим обе части на 100 (чтобы цифры встали в строй):

100Y = 27,27272727… – (D)

и вычтем (C) из (D):

99Y = 27,000000…

Таким образом, Y = 27/99 = 3/11.

Вот видите[40]! Зачем утруждать себя «сходимостями» и «пределами»? Но с бесконечными последовательностями нужно быть осторожнее. Представим себе сумму:

Z = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … (E)

Умножим обе части равенства на 2:

2Z = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … – (F)

и привычно вычтем (E) из (F):

– Z = 1.

Стало быть, Z = –1? Что за абсурд?

Где мы допустили оплошность? Мы ушли в беспредел. Алгоритм, позволяющий установить значение 0,9999999… и 0,2727272727…, дал сбой, когда мы взялись за ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16… Во всех трех случаях речь шла о бесконечной последовательности. В чем разница? Ответ: в сходимости. Не понимая толком, что такое сходимость ряда, мы запросто придем к выводу, что сумма положительных чисел может быть отрицательным числом. Операции с выражениями (A) и (B), а также (C) и (D) математически корректны, потому что мы имеем дело со сходящимися последовательностями.

Глава 4

√2

Перед началом концерта музыканты настраивают инструменты по одной ноте, чтобы добиться гармоничного звучания. Однако это невозможно. Скоро мы увидим почему.

Рациональные числа

Целые числа прекрасно ладят с тремя простейшими арифметическими действиями – со сложением, вычитанием и умножением. Мы производим эти операции над двумя целыми числами и получаем целое же число. А вот деление одного целого числа на другое[41] может привести к дробному результату.

Числа, представляющие собой результат деления целого числа на целое, называют рациональными[42]. Например, 1,5 – это рациональное число, потому что равно 3/2.

Целое число 3 рациональное, потому что 3 = 3/1 (а еще 6/2, 12/4 и т. д.). Все целые числа – рациональные.

Целые числа ладят с тремя арифметическими действиями, а рациональные числа – со всеми четырьмя. Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел всегда будут рациональным числом (с привычной оговоркой о неправомерности деления на ноль).

Рациональные числа пригодны для описания повседневной жизни. Величины, которые мы измеряем, – вес, интенсивность звука, расстояние, цена, температура, время, численность населения, радиочастоты – выражаются рациональными числами.

Но если рациональные числа удобны для работы и над ними можно осуществлять арифметические операции, зачем нам другие числа?

Можно