Философ-монотеист и поэт Ксенофан (ок. 570 – ок. 475 г. до н. э.) рассказывает, что однажды Пифагор увидел, как некто бьет собаку, и потребовал немедленно прекратить избиение – потому что в собаку вселилась душа его недавно умершего друга. Я надеюсь, что тот человек послушал его, потому что в рассказах о том, что Пифагор был выдающимся кулачным бойцом, возможно, и была доля правды.
Пифагор любил розыгрыши. Однажды он исчез довольно надолго. Потом снова появился в городе исхудавшим до предела – кожа да кости. Он объяснял всем, что был в стране мертвых, и не только рассказывал истории о том, что он «видел» среди усопших, но и рассуждал о событиях, случившихся с еще живыми за время его отсутствия. Как ему это удалось? Очень просто. Все это время он прятался в доме своей матери, придерживаясь диеты, которая подошла бы современной топ-модели. Мать держала его в курсе текущих событий, а что до происшествий в мире мертвых – тут он, разумеется, мог рассказывать все, что взбредет ему в голову. Кто бы мог проверить его сведения?
Несмотря на все вышеизложенное, у нас есть несколько бесспорных фактов о Пифагоре. Вот они.
Пифагор родился приблизительно в 570 г. до н. э. на острове Самос. Когда ему было сорок лет, Поликрат стал «тираном Самоса»[9], и Пифагор бежал с острова, чтобы не оставаться под его властью. Он обосновался в городе Кротоне на юге Италии и основал там Пифагорейский союз. В нем было три отделения – политическое, математическое и теистическое. Утверждается, что в момент наивысшего расцвета в союзе состояло около 300 членов.
В некоторых из более поздних биографий Пифагора подчеркивается то огромное воздействие, которое он оказал на жизнь в Кротоне. Рассказывают, что Пифагор убедил жителей Кротона отказаться от мздоимства. Он превратил их в совершенных аскетов, преданных братской любви и стремившихся к знанию, справедливости и смыслу. Пифагор был прославленным оратором – несмотря на то что часто говорил из-за занавеса, так, чтобы никто не видел его лица. Этот изящный прием, несомненно, еще более усиливал окружавшую его таинственность: надо бы и мне использовать его, когда я разговариваю со своими студентами.
Прежде чем обосноваться в Кротоне, Пифагор совершил несколько путешествий в поисках фундаментальных знаний. Он побывал в Египте, Финикии, Аравии, Иудее и Вавилоне (который входил тогда в состав Персидской империи). Египтяне научили его геометрии, халдеи – астрономии, а маги – то есть зороастрийцы – преподали ему принципы религии и практические правила добродетельной жизни. Возможно, он даже добрался до Индии (в то время путешествия в Индию были не так популярны, как сейчас). Однако не вполне ясно, с какими именно замечательными людьми он там встретился и какие именно жемчужины мудрости оттуда вынес.
Существует множество версий относительно смерти Пифагора. Как вы, возможно, догадываетесь, они по большей части весьма драматичны. Я же предлагаю вам самую прозаическую из этих версий: Пифагор умер от естественных причин в возрасте 90 лет.
О музыке и числах
В то время как Пифагор и его ученики исследовали законы Вселенной, они изучали и законы музыки. Вы, конечно, помните, что Пифагор обожал распевать песни Гомера и Гесиода («Величайшие хиты Древней Греции»), бренча на своей лире. Пифагор полагал, что музыка оказывает огромное влияние на душу и может вызывать чрезвычайно сильные эмоции. Если вы в этом сомневаетесь, прочтите «Крейцерову сонату» Льва Толстого. Сейчас нам ясно, что открытое Пифагором наличие у музыкальных гамм численной основы сильнейшим образом повлияло на пифагорейцев. Можно привести множество разных примеров проявления этой численной основы. Например, Пифагор установил, что длины струн двух нот, отстоящих друг от друга в точности на одну октаву (например, от до – до – до), соотносятся как 1:2. Струны двух нот, отстоящих на квинту (например, до – соль), находятся в соотношении длин 2:3, а струны двух нот, отстоящих на кварту (например, до – фа) – в соотношении 3:4.
Музыка есть удовольствие, которое человеческий разум испытывает от счета, не сознавая, что он считает.
Готфрид ЛейбницОткрытие Пифагора – что музыку можно преобразовывать в математические выражения – было важным шагом на его пути к сенсационному выводу, что и весь мир в целом так или иначе основан на числах. Более того, Аристотель отмечает в «Метафизике», что пифагорейцы первыми стали изучать математику и пришли к заключению, что законы математики управляют законами всего сущего.
Какие научные законы гарантируют, что должны существовать научные законы?
Мартин ГарднерМатематика управляет и изобразительным искусством. Перспектива основана на геометрии и пропорциональности (размеры предметов, изображенных на двумерной поверхности, уменьшаются пропорционально увеличению расстояния от зрителя), а принципы композиции основываются на свойствах геометрических фигур.
Геометрия есть основа всей живописи.
Альбрехт ДюрерНо Пифагор пошел на шаг дальше. Он также использовал язык геометрии для определения хорошего и дурного, правильного и неправильного. Например, вместо терминов «хороший» и «дурной» он употреблял слова «прямой» и «искривленный» (по-гречески, разумеется). Мы и сейчас иногда называем нечестное «кривым», а ложь «кривдой». Прямая линия казалась ему благородной, искривленная – неблаговидной. Возможно, отголоски этой концепции до сих пор можно найти в выражении «прямой человек», так как никакой связи между осанкой человека и его искренностью или добросовестностью, разумеется, нет.
Начало прекрасной дружбы – дружественные числа
Аристотель сказал однажды, что истинные друзья – это два тела с одной общей душой. А как определял дружбу Пифагор? Тут нас ожидает сюрприз.
По словам ученого-неоплатоника Ямвлиха (ок. 245 – ок. 325), автора еще одной биографии Пифагора, пифагорейское определение дружбы выражается двумя числами – 284 и 220.
Что?! Почему?!
Чтобы понять, откуда взялась эта идея, сложите все делители числа 220 (числа, на которые 220 делится без остатка), а затем сложите все делители числа 284. Сами эти числа включать в суммы не нужно.
Делители 220 – 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, а их сумма равна 284.
Делители 284 – 1, 2, 4, 71 и 142, а их сумма равна (чему бы вы думали?) 220!
Пифагорейцы считали, что близкие друзья подобны паре чисел, сумма делителей каждого из которых равна второму числу. В математике такую пару чисел называют дружественными числами.
Другие пары дружественных чисел можно найти при помощи компьютера. Помимо пары (220, 284) есть еще (1184 и 1210), (2620 и 2924), (5020 и 5564) и (6232 и 6368). Кроме этих пяти, других таких пар среди чисел до 10 000 нет. Если вам совсем нечего делать, попробуйте проверить, действительно ли эти пары – пары дружественных чисел. Другими словами, сложите собственные делители каждого числа (без самого этого числа) и посмотрите, равна ли их сумма второму числу пары.
Если хотите, вы можете взяться и за еще более трудную задачу – попытаться найти другие пары дружественных чисел. Для этого вы, вероятно, захотите прибегнуть к помощи компьютера, но имейте в виду, что в 1636 г. французский математик-любитель Пьер Ферма установил, что числа 17 296 и 18 416 образуют пару дружественных чисел, а два года спустя знаменитый французский философ и математик Рене Декарт открыл еще одну такую пару – 9 363 584 и 9 437 056.
ДЕКАРТ, БЕСКОНЕЧНОСТЬ И БОГНа Декарта произвела глубокое впечатление концепция «бесконечности». В книге «Рассуждения о первой философии» он даже использует эту концепцию для «доказательства» существования Бога. Рассуждает он при этом приблизительно следующим образом:
«Поскольку сам я – существо конечное, я, очевидно, не могу изобрести концепцию бесконечности, так как по-настоящему охватить в своих мыслях понятие бесконечности может лишь нечто, само бесконечное.