Он печалится из-за невольного душевного и эмоционального отшельничества, ему нужен близкий друг. В гостинице он единственный гость, за исключением «некоего мистера Риммера, который проводит метеорологические наблюдения», а в обсерватории Петавел со своими студентами составляют ему компанию только по субботам:
Я так одинок, что правда невероятно страстно желаю найти друга, и когда по субботам приходят студенты, то всегда думаю, что это будет один из них[37].
Впрочем, Витгенштейн был нелюдим и не мог сблизиться со студентами, хотя вскоре после этого письма друг нашелся. Уильям Экклз, инженер, старше его на четыре года, приехал в обсерваторию, чтобы проводить метеорологические исследования. Когда Экклз зашел в «Граус Инн», в общей гостиной он увидел Витгенштейна среди книг и бумаг, разбросанных на столе и по полу. Так как пройти, ничего не задев, было невозможно, он немедленно начал прибираться — к изумлению и признательности Витгенштейна. Скоро они стали близкими друзьями, и их дружба продолжалась до Второй мировой войны.
Осенью 1908 года Витгенштейн поступил на инженерный факультет Манчестерского университета. В те дни в Манчестере училось совсем немного студентов-исследователей, и планы для них писались кое-как. Формальный курс обучения отсутствовал, не хватало супервайзера для наблюдения за исследованиями. От Витгенштейна не ждали, что он будет учиться ради получения степени. Зато он мог заниматься собственными исследованиями, пользоваться университетской лабораторией и помощью заинтересованных преподавателей.
В число последних входил математик Гораций Лэмб, который вел семинар для студентов-исследователей. Они могли предлагать на его рассмотрение свои задачи. Витгенштейн, кажется, пользовался этой возможностью. В письме Гермине в октябре он описывает свой разговор с Лэмбом, тот:
…попробует решить уравнения, которые я составил и показал ему. Он сказал, что не уверен, можно ли их вообще решить сегодняшними методами, и поэтому я с нетерпением жду результатов[38].
Интерес Витгенштейна к решению этой проблемы, очевидно, не ограничивался ее применением в аэронавтике. Его увлекла чистая математика, и он стал ходить на лекции Дж. И. Литлвуда по теории математического анализа, а один вечер в неделю проводил с двумя другими студентами-исследователями, чтобы обсудить математические вопросы. Темы этих дискуссий касались проблем обеспечения математики логическими основаниями, и один из приятелей познакомил Витгенштейна с книгой Бертрана Рассела «Основания математики», опубликованной пятью годами ранее.
Книга Рассела стала решающим событием в жизни Витгенштейна. Хотя он еще два года продолжал заниматься аэронавтикой, его все больше захватывали проблемы, поставленные Расселом, а инженерная работа разочаровывала. Он нашел тему, которая увлекала его так же, как игра на фортепиано увлекала брата Ганса, тема, где он надеялся не только внести достойный вклад, но и стать по-настоящему великим.
Центральная мысль «Оснований математики» состоит в том, что, вопреки мнению Канта и многих других философов, вся чистая математика исходит из небольшого числа фундаментальных логических принципов. Иными словами, математика и логика — одно и то же. Рассел намеревался продемонстрировать это строго математически, фактически выводя все следствия, необходимые для доказательства каждой теоремы в математическом анализе, из нескольких тривиальных, самоочевидных аксиом. Это должно было стать вторым томом. В итоге все это вылилось в монументальную трехтомную работу Principia Mathematica. В этом же «первом томе» он закладывает философские основы своего смелого предприятия, принципиально не соглашаясь с широко распространенным в то время мнением Канта, что математика разительно отличается от логики и основана на «структуре внешнего», наших базовых «интуициях» пространства и времени. Для Рассела важность проблемы лежит в различии: рассматривать математику как совокупность определенного, объективного знания или как фундаментально субъективную конструкцию человеческого мозга.
До издания «Оснований математики» Рассел не подозревал, что основные направления его рассуждений предвосхитил немецкий математик Готтлоб Фреге, который в своих «Основных законах арифметики» (первый том вышел в 1893 году) пытался решить точно такую же задачу, которую поставил перед собой Рассел. Он немедленно изучил работу Фреге и добавил к книге эссе «Логические и арифметические доктрины Фреге», где похвалил «Основные законы».
До того момента «Основные законы» оставались незамеченными. Немногие читали эту работу и еще меньше было тех, кто ее понимал. Рассел, вероятно, первым оценил ее значение. Быстро изучив работу Фреге, он, однако, обратил внимание на трудность, которую тот пропустил. Проблема, из нее возникающая, кажется сначала незначительной, но ее решение скоро стало фундаментальной проблемой оснований математики.
Чтобы дать логическое определение числа, Фреге использовал понятие класса, который он определил как объем понятия. Так, понятию «человек» соответствует класс людей, понятию «стол» — класс столов и так далее. Аксиомой в его системе было то, что каждому значимому понятию соответствует объект, класс, который является его объемом. Рассел обнаружил, что при определенной последовательности рассуждений это приводит к противоречию. Ибо при таком допущении некоторые классы будут принадлежать сами себе, а некоторые — не будут; класс всех классов сам является классом и таким образом принадлежит сам себе; класс людей сам не является человеком и поэтому не принадлежит сам себе. На этой основе мы образуем «класс всех классов, которые не принадлежат сами себе». Теперь спросим: является ли этот класс элементом самого себя или же нет? И утвердительный, и отрицательный ответы приводят к противоречию. Ясно, что если из аксиом Фреге можно вывести противоречие, то его система логики является шатким основанием, на котором строится вся математика.
До публикации своего открытия Рассел написал Фреге в Университет Йены, чтобы сообщить ему об этом. Фреге тогда готовил второй том своих «Основных законов». Хотя он включил в него поспешную и неудовлетворительную реакцию на парадокс, Фреге понял, что этот парадокс делает всю систему совершенно некорректной. Сам Рассел предложил избежать противоречия с помощью стратегии, которая названа им «теорией типов» и кратко изложена во втором приложении к «Основаниям». Она постулирует иерархию типов объектов, совокупность которых можно обоснованно сгруппировать вместе, чтобы образовать множества: так, первый тип — это индивиды, второй — классы индивидов, третий — классы классов индивидов и так далее. Множества должны быть совокупностями объектов одного и того же типа; следовательно, нет такой вещи, как множество, являющееся элементом самого себя.
Теория типов действительно избегает противоречия, но за счет введения в систему некоторых специальных допущений. Может быть верно, что есть разные типы объектов; может также быть верно, что нет множества, которое являлось бы элементом самого себя — вряд ли от этих тривиальных, самоочевидных истин логики Рассел изначально собирался отталкиваться. Сам Рассел этим не удовлетворяется и завершает книгу вызовом:
Как можно