В этой книге я попытаюсь выполнить сделанные обещания, двигаясь к цели неторопливым кружным путем. Наш путь начнется в главе 1 настолько близко к «началу», насколько это возможно, – с древнегреческого философа Демокрита. Дошедшие до нас фрагменты трудов Демокрита, который рассуждает, в частности, о том, что все природные явления проистекают из сложных взаимодействий между несколькими разновидностями крохотных «атомов», стремительно летающих в пустом по большей части пространстве, ближе к современному научному мировоззрению, чем что бы то ни было в античности (и много ближе, чем любые идеи Платона и Аристотеля). Но стоит Демокриту сформулировать атомную гипотезу, как он замечает с тревогой, что она стремится «целиком поглотить» тот самый чувственный опыт, который он как будто пытался объяснить с самого начала. Каким образом его можно свести к движению атомов? Демокрит изложил эту дилемму в форме диалога между Разумом и Чувствами:
Разум: Только по договоренности между людьми существует сладость, по договоренности – горечь, по договоренности – цвет, на самом деле существуют только атомы и пустота.
Чувства: Глупый разум! Неужели ты стремишься ниспровергнуть нас, хотя именно от нас получаешь все данные?
Этот обмен репликами служит, по существу, краеугольным камнем всей книги. Одной из тем для моих рассуждений будет то, что квантовая механика снабжает, судя по всему, и Разум, и Чувства новыми аргументами в их 2400-летнем споре, хотя по-прежнему (я так считаю) не обеспечивает чистой победы ни для одной стороны.
В главах 2 и 3 я перехожу к обсуждению самой глубокой из всех имеющихся у нас областей знания, совершенно намеренно не зависящей от «грубых фактов» об окружающем мире, а именно математики. Даже здесь что-то внутри меня (и, как я подозреваю, внутри многих других компьютерщиков!) с подозрением относится к тем разделам математики, которые несут на себе явный отпечаток физики, – это, к примеру, дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия, группы Ли и что угодно еще, выглядящее «слишком непрерывным». Поэтому я начинаю с самых «нефизических» разделов математики, известных на данный момент, – с теории множеств, логики и вопросов вычислимости. Я рассказываю о великих открытиях Кантора, Фреге, Гёделя, Тьюринга и Коэна, которые помогли нанести на карту контуры математических рассуждений как таковых и которые – в процессе демонстрации причин, по которым всю математику невозможно свести к фиксированному «механическому процессу», – продемонстрировали также, сколь значительную часть ее все же можно свести к такому процессу; заодно удалось прояснить, что, собственно, представляет собой сей «механический процесс». Поскольку я никак не могу от этого удержаться, в главе 4 я углубляюсь в давний спор о том, не сводится ли работа человеческого разума к «устоявшимся механическим процессам». Я стараюсь излагать позиции сторон в этом споре как можно беспристрастнее (хотя мои собственные пристрастия, несомненно, тоже заметны).
В главе 5 представлена молодая сестра теории вычислимости – теория вычислительной сложности, которая в дальнейшем играет в книге центральную роль. Я пытаюсь проиллюстрировать, в частности, как вычислительная сложность позволяет нам методично брать «глубокие философские загадки» о пределах человеческого знания и превращать их во «всего лишь» безумно сложные нерешенные математические задачи, в которых, по мнению некоторых, отражается большая часть того, что нам хотелось бы знать! Невозможно придумать лучший пример такого превращения, чем так называемая проблема перебора, или вопрос о равенстве классов сложности P и NP , о котором я расскажу в главе 6. Затем, в качестве разогрева перед квантовыми вычислениями, в главе 7 будут рассмотрены многочисленные применения классического понятия случайности – как в теории сложности вычислений, так и в других областях жизни; а глава 8 объяснит, как при помощи идей из области вычислительной сложности начиная с 1970-х гг. удалось по-настоящему революционизировать теорию и практику криптографии .
Все это – всего лишь подготовка сцены для самой тяжелой части книги – главы 9, в которой представлен мой взгляд на квантовую механику как «обобщенную теорию вероятностей». В главе 10 объясняются основы моей собственной научной области – квантовой теории вычислений, которую можно кратко определить как соединение квантовой механики и теории вычислительной сложности.
В качестве «награды» за упорство глава 11 предлагает критический разбор идей сэра Роджера Пенроуза, убежденного, как известно, в том, что мозг – это не просто квантовый компьютер, но квантовый гравитационный компьютер, способный решать невычислимые по Тьюрингу задачи, и что это или что-то подобное можно показать при помощи теоремы Гёделя о неполноте. Указать на проблемы и недостатки этих идей проще простого, и я это делаю, но еще интереснее, как мне кажется, задаться вопросом о том, не скрываются ли все же в рассуждениях Пенроуза крупицы истины.
В главе 12 рассматривается то, что я считаю главной концептуальной проблемой квантовой механики: не то, что будущее неопределенно (а кому до этого есть дело?), но то, что прошлое также неопределенно! Я разбираю две очень разные реакции на эта проблему: во-первых, популярное среди физиков обращение к декогеренции и «эффективной стреле времени» на базе Второго начала термодинамики; и во-вторых, «теории со скрытыми параметрами», такие как теория волны-пилота (она же теория де Бройля – Бома). Я считаю, что теории со скрытыми параметрами, даже если они будут отвергнуты, ставят перед нами необычайно интересные математические вопросы.
В оставшейся части книги рассматривается приложение всего изложенного выше к тем или иным серьезным, захватывающим или противоречивым вопросам математики, информатики, философии и физики. В этих главах значительно больше, чем в начальных, уделено внимание недавним исследованиям, в основном в области квантовой информации и вычислительной сложности, но также в области квантовой гравитации и космологии; мне представляется, что появляется некоторая надежда пролить свет на эти «коренные вопросы». Поэтому мне кажется, что именно последние главы устареют первыми! Несмотря на кое-какие не слишком существенные логические завязки, в первом приближении можно сказать, что эти последние главы можно читать в любом порядке.
• В главе 13 говорится о новых концепциях математического доказательства (включая вероятностное доказательство и доказательство с нулевым разглашением), а затем рассказывается о приложении этих новых понятий к пониманию вычислительной сложности теорий со скрытыми параметрами.
• В главе 14 поднимается вопрос о «размере» квантовых состояний: действительно ли в них зашифровано экспоненциальное количество классической информации? Кроме того, этот вопрос соотносится, с одной стороны, с дебатами о квантовой интерпретации, а с другой – с недавними исследованиями квантовых доказательств и совета на базе теории сложности.
• В главе 15 разбираются аргументы скептиков квантовых вычислений – тех, кто считает, что создать реальный квантовый компьютер не просто