С тех пор многие из величайших математиков и других ученых заболели пифагорейской лихорадкой. Страдал ею астроном Иоганн Кеплер. И физик Поль Дирак. Это побуждало их мечтать, искать и стремиться к гармонии Вселенной и в конце концов привело к открытиям, которые изменили мир.
Принцип бесконечности
Чтобы помочь вам понять, куда мы движемся, позвольте мне сказать несколько слов о том, что такое анализ, чего он (образно говоря) хочет и чем отличается от других областей математики. К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему.
Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений. Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа – и концептуально, и исторически. Я испытываю искушение сформулировать его прямо сейчас, хотя пока это будет звучать как тарабарщина. Вам будет проще это оценить, если мы станем продвигаться медленно, спрашивая, чего хочет анализ… и как он получает то, что хочет.
Если коротко, то анализ хочет сделать сложные задачи проще. Он буквально одержим простотой. Это может показаться вам абсурдным, учитывая, что у анализа репутация сложного метода и что некоторые лучшие учебники по нему превышают тысячу страниц и весят, как кирпич. Но давайте не будем выносить резких суждений. Анализ ничего не может поделать с тем, как выглядит, и громоздкости ему не избежать. Он кажется сложным, потому что старается решать сложные задачи. И он действительно решил ряд самых трудных и важных задач, с которыми когда-либо сталкивался наш вид.
Анализ добивается успеха, разделяя запутанные задачи на более мелкие составляющие. Конечно, такая стратегия не уникальна. Все хорошие специалисты вам подтвердят, что сложные задачи становятся проще при разбиении на части. Поистине радикальный и отличительный ход анализа состоит в том, что он доводит эту стратегию «разделяй и властвуй» до крайнего предела – бесконечности. Вместо того чтобы разрезать большую задачу на несколько маленьких, анализ без устали режет и режет ее, пока не измельчит буквально в порошок, до бесконечного множества крохотных частей. Затем анализ решает исходную задачу для всех этих мелких частей, что обычно гораздо проще, чем в случае изначальной гигантской задачи. На следующем этапе главное – свести все полученные крошечные ответы воедино. Как правило, это довольно трудно, но все же не так сложно, как в исходной задаче.
Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями. Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением[21]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением[22].
Такая стратегия подойдет для всего, что можно представить в виде бесконечного нарезания. Такие бесконечно делимые непрерывные объекты называют континуумами, от латинского глагола continere, образованного от приставки con- «с, вместе» и слова tenere «держать». Подумайте об окружности, стальной балке подвесного моста, миске супа, остывающего на кухонном столе, параболической траектории летящего копья или продолжительности вашей жизни. Форма, объект, жидкость, движение, временной интервал – все это льет воду на мельницу анализа и все это непрерывно или почти непрерывно.
Обратите внимание на определенный акт творческой фантазии. В действительности суп и сталь не непрерывны. В масштабах обычной жизни, возможно, они и кажутся таковыми, но на уровне атомов или суперструн – нет. Анализ игнорирует неудобства, создаваемые атомами и прочими неразделимыми объектами, не потому, что их не существует, а потому, что полезно представить, что их нет. Как мы увидим, анализу присуща склонность к полезным выдумкам.
Говоря в целом, те виды сущностей, которые анализ моделирует континуумами, включают практически все, что можно представить. Ученые использовали анализ для описания того, как мяч непрерывно катится по наклонной поверхности, как луч солнца проходит сквозь воду, как непрерывный поток воздуха вокруг крыла удерживает в полете колибри или самолет и как концентрация частиц вируса ВИЧ в крови пациента непрерывно снижается в течение нескольких дней после начала комбинированного лечения. Во всех случаях стратегия одна и та же: разделить сложную непрерывную задачу на бесконечное множество более простых частей, решить их по отдельности, а затем соединить опять.
Теперь мы наконец готовы изложить главную идею.
Принцип бесконечности
Чтобы пролить свет на любые непрерывные формы, объекты, движения, процессы или явления – какими бы дикими или сложными они ни казались, – переосмыслите их как бесконечный набор более простых частей, проанализируйте, а затем сложите полученные результаты, чтобы понять исходное целое.
Голем бесконечности
Единственная неприятность во всем этом – необходимость справляться с бесконечностью. И это проще сказать, чем сделать. Хотя тщательно контролируемое применение бесконечности – секрет анализа и источник его колоссальной предсказательной силы, одновременно это и его самая большая головная боль. Подобно чудовищу Франкенштейна или голему из еврейской мифологии, бесконечность склонна ускользать из-под контроля хозяина. Как и в любой истории о гордыне, монстр неизбежно обращается против своего создателя.
Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.
Если учесть, что математика обычно