Например, существует такое понятие, как слияние мельканий. Это происходит, когда источник света гаснет и снова включается с определенной частотой. С какого-то момента мы видим уже не отдельные вспышки света, а просто непрерывное свечение. Кстати, такой показатель, как критическая частота слияния мельканий (КЧСМ), является одним из важных диагностических признаков в офтальмологии.
В связи с естественными ограничениями скорости нашего восприятия обязательно нужно вспомнить и так называемый стробоскопический эффект. Благодаря ему возникает та иллюзия движения, на которой построен кинематограф.
К сожалению, стробоскопический эффект может быть причиной тяжелых травм и даже увечий. Речь идет о токарных цехах, освещаемых люминесцентными лампами. Эти лампы, как известно, мигают с определенной частотой. Из-за этого мигания при определенной скорости вращения станка деталь может восприниматься как неподвижная. Причем проверить это на слух рабочий не может, так как в цеху очень шумно. Он хочет взять неподвижную, как ему кажется, деталь, но она на самом деле вращается с высокой скоростью и ему отрывает кисть руки.
Такие профессиональные обманщики наших чувств, как фокусники, тоже активно используют скорость нашего восприятия. Делая что-то очень быстро, они создают иллюзию чуда и настоящей магии.
Ограничения нашего восприятия лежат в основе не только обмана, которому нас подвергают, и мошенничества, жертвами которого мы становимся, но и таких приятных дел, как просмотр хорошего кино.
Кроме ограничений наших органов чувств и восприятия, существуют и ограничения нашего мышления. Так, есть задачи, которые мы не можем решить одним разумом, каким бы совершенным он ни был. И подобно тому, как есть объекты, которые можно увидеть, только вооружив глаза (телескопом, микроскопом), так же есть и задачи, которые можно решить, только используя специальные инструменты. И это необходимо учитывать, принимая решения и делая выводы.
Например, попробуйте сложить в уме, не используя письменные принадлежности и бумагу, все числа от 1 до 100.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 … + 99 + 100.
Ну как? Получилось?
Думаю, вряд ли.[2]
А теперь попробуйте произвести в уме следующие арифметические действия:
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8.
И снова, думаю, у вас не получилось.
Ладно, не можете сосчитать, попробуйте по крайней мере угадать! Напишите, сколько примерно получится.
Обычно люди, пытаясь угадать, называют что-то около 500.
Вроде бы ничего удивительного, так ведь? Но это еще не все. Дело в том, что если расположить перемножаемые числа в обратном порядке (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1), то люди будут называть уже совсем другое число – что-то около 2000.
Каков же правильный ответ? Кто был ближе к истине: те, кто говорил 500, или те, кто называл число 2000? Вы не поверите, но речь идет о принципиально ином числе: 40 320…
Наш разум не только не может сосчитать, зачастую он не может даже правильно угадать. Причем, пытаясь угадать, он дает неправильный ответ, сильно зависящий от совершенно несущественных факторов (как известно, от перемены мест множителей произведение не меняется, однако наш разум был введен в заблуждение порядком множителей).
Эту недооценку человеком величины числа, которое получится в результате последовательного совершения той или иной математической операции (умножения), умные люди подметили довольно давно.
Примером тут может быть легенда об изобретателе шахмат. Она имеет много вариаций, и здесь я изложу одну из них.
Когда индийский мудрец показал свое изобретение – шахматы – одному радже, тому они так понравились, что он попросил мудреца самому придумать себе награду за это потрясающее изобретение.
Мудрец подумал и сказал:
– О щедрейший из щедрых! Я прошу у тебя совсем немного. Просто положи на первую шахматную клетку одно зерно риса, на вторую – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. И этого мне будет довольно.
Раджа удивился, кивнул и приказал своему советнику подсчитать количество риса, которое нужно отдать мудрецу.
Советник считал три дня, но сосчитать так и не смог!
И неудивительно, ведь у него должно было получиться 18 446 744 073 709 551 615 зерен!
По-видимому, даже если сложить весь рис, произведенный человечеством на сегодняшний день, такого количества зерен не получится.
Похожим образом вы можете выиграть в споре с товарищем. Все, что вам нужно для этого, – поспорить с ним, что он не сможет сложить лист формата А4 пополам больше восьми раз подряд.
На первый взгляд кажется, что сложить лист можно и восемь, и десять раз подряд. Но на самом деле наш разум снова нас подводит, а очевидное оказывается ошибочным.
Я вот, например, только что складывал лист формата А4, и у меня получилось сложить его пополам подряд лишь семь раз. К этому моменту получившаяся бумажная штука стала настолько толстой, что сложить ее восьмой раз было просто невозможно.
Как видим, в оценке результатов так называемого экспоненциального роста (а именно о таком росте идет речь в последних двух случаях: об экспоненциальном росте количества зерен и экспоненциальном росте толщины бумаги) наш разум допускает весьма существенные ошибки.
Если мы пренебрежем плотностью листа бумаги или придумаем способ складывать пополам лист сколь угодно большой толщины, то, когда мы сложим его пополам 103 раза, высота получившегося свертка будет такой, что мы выйдем за границы наблюдаемой Вселенной.
«Но это все арифметика! Это все оторванные от жизни задачи! – скажет кто-то. – А в реальной жизни нам не приходится так напрягать свой разум».
Что ж, тут мы снова имеем дело с заблуждением, ведь в реальной жизни все еще сложнее. Факторов, которые необходимо учитывать для того, чтобы принять правильное решение и сделать правильный вывод, не меньше, а зачастую и больше, чем цифр в приведенных выше примерах, а описаны они гораздо менее точно – далеко не в виде чисел и вообще не в виде однозначно понятных знаков.
Итак, я думаю, вы убедились, что у нашего разума есть ограничения. Но их наличие – это еще полбеды. Проблема усложняется тем, что у разума есть явные ограничения, а есть неявные, которые скрыты даже от него самого.
Явные ограничения – это, например, ограниченное число объектов, о которых мы можем размышлять одновременно. В частности, можете ли вы сразу сказать, сколько точек изображено на рисунке?
Попытка сосчитать точки вскрывает и другое ограничение нашего разума: ему необходимы инструменты. Например, считать точки будет значительно легче, если зачеркивать те, что уже подсчитаны, или хотя бы просто указывать на них пальцем или карандашом. Да и считаем мы не некими присущими разуму