Читать «Фрактальная геометрия природы»

Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии — прямолинейным.

В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами (евклидовым в данной работе мы будем называть все, что относится к обычной геометрии) Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач.

Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами. Наиболее полезные фракталы включают в себя элемент случайности; как правильность, так и неправильность их подчиняется статистическим законам. Кроме того, описываемые здесь фигуры стремятся к масштабной инвариантности, т. е. степень их неправильности и/или/ фрагментации неизменна во всех масштабах. Центральное место в настоящей работе занимает фрактальная (или хаусдорфова) размерность.

Одни фрактальные множества представляют собой кривые или поверхности, другие — несвязную «пыль»; есть и такие, чья форма столь причудлива, что ни наука, ни искусство не в состоянии предложить подходящее для них название. Я предлагаю читателю ознакомиться с ними прямо сейчас, просмотрев иллюстрации в книге.

На многих из этих иллюстраций представлены формы, которые до сих пор никто не рассматривал, на других же показаны давно известные конструкции, причем нередко впервые именно в таком виде. В самом деле, хотя фрактальная геометрия как таковая появилась лишь в 1975 г., многие из ее концепций и инструментов были разработаны раньше — пусть и для целей, в корне отличных от моей. Старые камни в кладке стен нового здания обеспечили фрактальной геометрии чрезвычайно мощный строго математический фундамент, в результате чего математика обогатилась новыми захватывающими идеями и проблемами.

И все же, в рамках данной работы меня не интересуют ни абстракция, ни обобщение ради самих себя; эта книга не является ни учебником, ни математическим трактатом. Несмотря на ее размер, я склонен определить ее жанр как научное эссе, так как изложенный в ней материал представляет только мою собственную точку зрения и ни в коем случае не претендует на всеохватывающую полноту. Кроме того, как и во многих других эссе, в ней немало отступлений и интерлюдий.

Такой неформальный подход призван помочь читателю избежать тех частей текста, которые лежат вне области его интересов или за пределами его компетенции. По всей книге разбросано множество «легких» в математическом смысле мест, особенно ближе к концу. Листайте книгу, где-то останавливаясь, что-то пропуская — по крайней мере, при первом и втором прочтении.

В этом эссе сводятся вместе аналитические методы различных наук с целью создания нового философско-математического синтеза. Таким образом, оно может рассматриваться и как сборник прецедентов, и как манифест. Кроме того, оно открывает изумленному взгляду совершенно новый мир пластичной красоты.

Термином «сборник прецедентов» юристы называют собрание реальных, имевших место в юридической практике случаев, объединенных общей темой. В науке соответствующего термина нет, поэтому я предлагаю его позаимствовать. Наиболее важные случаи требуют многократного рассмотрения, однако и менее значительные также заслуживают

внимания; на интенсивность обсуждения нередко влияет и наличие похожих «прецедентов».

Рассмотрение одного из прецедентов касается широко известного приложения широко известного математического аппарата к одной широко известной задаче природы; я имею в виду винерову геометрическую модель физического броуновского движения. К нашему удивлению, винеровский процесс нигде больше непосредственно не применим, и это наводит на мысль, что среди феноменов высокой степени сложности, с которыми мы имеем дело, броуновское движение представляет собой особый случай, исключительно простой и неструктурированный. Тем не менее, я включил броуновское движение в настоящую книгу, поскольку многие весьма полезные фракталы представляют собой не что иное, как тщательные его модификации.

Другие исследования затрагивают,