Внезапно чувствую приток адреналина. За стеклом я только что увидел небольшой простой фрагмент. Сверху вниз четыре различных рисунка накладываются один на другой, и один из них, а именно третий сверху, заинтересовал меня больше других. Этот узор состоит из частей прямоугольников, расположенных под наклоном в форме елочки. Я прищуриваю глаза, всматриваюсь, а затем быстро схематично зарисовываю узор в блокнот, как будто боюсь, что он может ускользнуть от меня. Геометрия идеальна. Это та самая скользящая симметрия – последний, седьмой тип узора.
Рядом с этим экспонатом размещена табличка с надписью: «Фрагмент кружки с горизонтальными полосами в виде ромбов с точками внутри. Середина V тысячелетия до н. э.».
Я мысленно возвращаюсь к своей хронологии. Середина V тысячелетия до н. э. То есть этот экземпляр относится еще к доисторическому периоду. За тысячу лет до изобретения письменности гончары Месопотамии уже, сами того не осознавая, использовали все варианты теоремы, которая будет доказана лишь спустя шесть тысяч лет.
Пройдя еще несколько залов, нахожу кувшин с тремя ручками, который также украшен орнаментом седьмого типа: узор немного закручен по спирали, но сама геометрическая структура остается прежней. Чуть дальше еще один пример. Я хотел бы продолжить, но внезапно рисунок меняется. Я подошел к концу восточных коллекций. Дальше уже находится экспозиция Древней Греции. Еще раз смотрю свои зарисовки узоров со скользящей симметрией, которые можно посчитать по пальцам одной руки. Я начинаю волноваться.
Как распознать семь типов узоров?Первый тип – это узор, у которого нет какой-либо геометрической особенности. Просто обычный повторяющийся мотив без симметрии или центра вращения. Это пример узора, не основанного на геометрических фигурах, в изображении которого используются изображения фигур, например животных.
Второй тип – это узор с горизонтальной осью симметрии посередине.
Третий тип узора включает в себя повторяющиеся по горизонтали элементы с осью симметрии по вертикали. В таком узоре элементы повторяются по горизонтали, каждый их данных элементов имеет оси симметрии по вертикали.
Четвертая категория – это орнаменты, которые выглядят одинаково при развороте на 180 градусов. Такие узоры не меняются, если на них смотреть сверху или снизу.
Пятый тип узоров построен на скользящей симметрии. Это тот самый знаменитый узор, который мне посчастливилось найти среди экспонатов из Месопотамии. Если вы развернете один из таких узоров по горизонтали (как во втором случае), то получится та же картинка, только сдвинутая на пол-элемента.
Шестой и седьмой типы орнаментов не являются какими-то новыми относительно пяти первых и сочетают в себе их особенности в различных вариациях. Так, шестой тип включает горизонтальную и вертикальную симметрию, а также центр вращения на пол-оборота.
Ну а седьмая категория сочетает узоры с вертикальной симметрией, центр вращения и скользящую симметрию.
Следует отметить, что эти категории относятся только к геометрическим особенностям и не ограничивают вариативность конкретных узоров. Так, узоры, изображенные далее, хотя и отличаются визуально, все относятся к последней, седьмой категории.
Все узоры, которые только возможно представить, можно отнести к одной из семи категорий. Создать иные узоры, с геометрической точки зрения, невозможно. Удивительно, но последние две категории наиболее распространены. Человеку интуитивно свойственно использовать узоры с большим количеством типов симметрии.
Гордый своими успехами в поисках примеров керамики из Месопотамии, я перехожу к эпохе Древней Греции. Не успел я перейти в соответствующий зал, как уже не знаю, на чем остановить свое внимание. Искать примеры узоров здесь проще простого. Я сделал всего несколько шагов, взглянул на несколько витрин, рассмотрел пару амфор – и уже нашел примеры всех семи типов орнаментов.
Оценив такое разнообразие, я сразу же перестал вести заметки, как делал это в отношении работ из Месопотамии. Творческие способности жителей Древней Греции меня потрясли. Новые мотивы, сложные и необычные, приковывают мое внимание. Иногда я останавливался и сосредоточивался, чтобы мысленно разделить эти сложные, переплетенные узоры.
Увидев в углу комнаты лутрофор с красными фигурами, теряю дар речи.
Лутрофор представляет собой вытянутый сосуд с двумя ручками. Он использовался для переноски воды для купания и достигал метра в высоту. Я начинаю подсчитывать виды узоров на лутрофоре. Один. Два. Три. Четыре. Пять. За несколько секунд нахожу примеры пяти из семи видов орнаментов. Сосуд прислонен к стене, но, немного наклонившись, я замечаю, что узор шестого типа расположен на его обратной стороне. Остался последний тип. Удивительно, но сегодня мне недостает уже не того узора, который я не мог найти вчера. В произведениях этой эпохи сложно найти не только примеры скользящей симметрии, но и сочетание вертикальной, вращательной и скользящей симметрии.
Я с рвением ищу малейший намек на искомые узоры, но не могу их найти. Уже немного разочаровавшись, хочу прекратить поиски, когда мой взгляд падает на одну деталь. В центре вазы изображена сцена с двумя персонажами. На первый взгляд, здесь отсутствуют узоры. Однако внизу, справа, один элемент привлекает мое внимание. Ваза, на которую облокотился главный изображенный персонаж. Ваза, изображенная на вазе! Такое применение рекурсии заставляет меня улыбнуться. Я щурюсь: изображение затерто, но, без сомнения, на этой вазе изображен тот самый недостающий узор!
Несмотря на мои последующие попытки, я не смог найти больше ничего подобного. Этот лутрофор, кажется, единственный в своем роде в коллекции в Лувре: только на нем я нашел все семь видов орнаментов.
Чуть дальше меня ждало еще одно открытие. Объемные узоры! Я всегда считал, что перспектива была открыта только в эпоху Ренессанса. Темные и светлые участки, умело разделенные художником, создают игру света и тени, создавая эффект объема геометрических форм, расположенных по ширине гигантского сосуда.
Иду дальше, и передо мной встают новые вопросы. Некоторые элементы вместо узоров украшены сплошной текстурой. Иными словами, в качестве изобразительного средства использовались не узоры, расположенные по кругу, а сплошное покрытие, что, таким образом, снижает вероятность найти геометрические орнаменты.
После работ древних греков идут произведения древних египтян, этрусков и римлян. Я любуюсь образами, созданными резьбой по камню. Прожилки переплетаются, находят одна на другую, создавая рисунок идеальной формы. После этого – как будто данных произведений недостаточно – всматриваюсь в архитектуру самого Лувра, в его своды, плиточный настил, дверные проемы.
Прихожу в себя и не могу больше остановиться. На улице обращаю внимание на балконы жилых домов, рисунок на дорожках для пешеходов, стены подземных переходов…
Этого достаточно, чтобы изменить свой взгляд на мир, чтобы констатировать существование в повседневности математики. Ее проявления можно искать бесконечно, и этот поиск невероятно увлекателен.
И наше приключение только начинается.
2
Рождение чисел
В это время