Теэтет изучал также абсолютно симметричные многогранники, т. е. объемные фигуры с одинаковыми гранями. В результате его исследований был сделан неожиданный вывод: всего существует пять таких многогранников. Только пять! И не более.
Слева направо: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр
По сей день в математике используются исторические названия многогранников в соответствии с количеством их граней – слова с греческим суффиксом «-эдр». Так, куб, состоящий из шести квадратных граней, называется в геометрии гексаэдром. Тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр состоят из четырех, восьми, двенадцати и двадцати граней соответственно. Позже они получили название «платоновы тела».
Платоновы? Но почему не теэтетовы? История зачастую несправедлива, и первооткрыватели не всегда получают причитающиеся им по заслугам почести от современников. Платон прославился не тем, что он открыл данные многогранники, но тем, что стал ассоциировать их со стихиями: огонь – с тетраэдром, землю – с гексаэдром, воздух – с октаэдром, а воду – с икосаэдром. Что же касается додекаэдра, то его античный философ ассоциировал с материей, из которой состоит сама Вселенная. Эта теория впоследствии была заброшена наукой, но спустя столетия правильные многогранники по-прежнему носят название платоновых тел.
Чтобы быть до конца откровенным, следует отметить, что и Теэтет не был первым, кто открыл пять правильных многогранников. Были найдены их еще более ранние примеры. На территории современной Шотландии обнаружена коллекция миниатюрных камушков в форме платоновых тел, созданных за тысячу лет до того, как древнегреческий математик сделал свое открытие! Эти экспонаты сегодня хранятся в музее Эшмола в Оксфорде.
Так не заслуживал ли Теэтет звания первооткрывателя больше, чем Платон? Или все же нет? Не совсем так, ведь даже если принять во внимание, что эти геометрические фигуры открыли еще до Теэтета, он был первым, кто заявил о том, что их всего пять. Бесполезно сегодня пытаться определить, кто же все-таки был первым. Это утверждение, хоть и кажется убедительным, оставляет место сомнениям. Эх! В этом весь вопрос.
Данный исторический этап известен тем, что в это время древнегреческие математики начали заниматься новым направлением в науке. С этих пор для них стало недостаточным просто ответить на вопросы. Математики стремились найти исчерпывающие ответы. Они хотели быть уверенными в том, что ничто не ускользнуло от их внимания, и для этого стремились достичь совершенства в искусстве математики.
Вернемся к «Жеоду». Подтверждение открытия Теэтета налицо: невозможно создать правильный многогранник, состоящий из сотен граней. Как же быть архитектору, который хочет возвести строение, максимально приближенное по своему виду к идеальной сфере? С технической точки зрения крайне затруднительно создать такое сооружение монолитным. Таким образом, не остается ничего другого, кроме как собрать его из маленьких элементов. Но как получить такую структуру?
Можно сделать это несколькими способами. Например, можно взять одно из платоновых тел и немного его доработать. Возьмем, скажем, икосаэдр. Состоящий из восьми треугольных граней, он наиболее приближен по форме к шару из пяти платоновых тел. Далее необходимо разбить каждую из его граней на несколько более мелких. Форма полученного многогранника может быть далее изменена таким образом, как если бы в него надули воздух. Форма полученного многогранника становится ближе к форме шара.
Вот как будет выглядеть икосаэдр, если каждую из его граней разделить на четыре треугольника.
Икосаэдр
Икосаэдр, грани которого разделены на четыре треугольника
«Надутый» икосаэдр с разделенными гранями
Такой многогранник называется в геометрии… жеод (gÉode). Поэтому, этимология названия этой фигуры связана с названием Земли, иначе говоря, сферы. В этом нет ничего сложного. Именно по такому принципу был построен «Жеод» в парке Ла-Виллет! Грани в данном случае разделены на большее количество треугольников, а точнее, каждая грань – на 400 треугольников, что в сумме дает 8000 маленьких элементов!
Фактически «Жеод» состоит из чуть меньшего количества граней, а именно 6433, т. к. его основание, расположенное на земле, частично усечено, вследствие чего часть граней отсутствует. Тем не менее его форма позволяет объяснить наличие двенадцати отличающихся точек. Эти элементы являются не чем иным, как двенадцатью вершинами икосаэдра, являвшегося основой для данного многогранника. Иными словами, в этих местах соединялись грани-треугольники первоначального икосаэдра. Эти вершины, которые изначально явно выделялись, после последовательного разделения граней на все большее и большее количество маленьких треугольников стали практически незаметными. Но их присутствие остается неизменным, и внимательный прохожий всегда обратит свое внимание на двенадцать отклонений.
Теэтет, разумеется, не мог предположить, что его исследования позволят со временем построить такие грандиозные сооружения, как «Жеод». И это потрясающее свойство математики, заключающееся в том, что она способна бесконечно развиваться, подметили еще древнегреческие ученые. Они начали постепенно формулировать конкретные вопросы с тем, чтобы создать абсолютно новые и вдохновляющие математические модели. Даже несмотря на то, что эти модели часто казались неприменимыми в то время, когда их разрабатывали, зачастую они становились актуальными спустя уже много лет после смерти своих первооткрывателей.
По сей день примеры платоновых тел можно найти в совершенно разных областях. Так они применяются в качестве формы игральных костей в некоторых играх. Правильная форма обеспечивает равную вероятность выпадения значений, иными словами, каждая грань может выпасть с одинаковыми шансами. Все мы видели шестигранные кубики игральных костей, но более искушенные игроки знают, что в играх используются и остальные четыре типа правильных многогранников, обеспечивающих различную степень вероятности.
Немного дальше от «Жеода» я замечаю детей, играющих в футбол на лужайке в парке Ла-Виллет. Они, конечно же, не задумываются над этим, но и данная игра не появилась бы без открытия Теэтета. Обратили ли они внимание на геометрическую закономерность на их мяче? Большинство футбольных мячей состоят из двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников. На классических мячах шестиугольники покрашены в белый цвет, а пятиугольники – в черный. И даже если на мяч нанесены какие-либо рисунки, присмотревшись, по швам на нем можно рассмотреть неизменные двадцать шестиугольников и двенадцать пятиугольников.
Усеченный икосаэдр! Так правильно называется форма футбольного мяча. И к его форме предъявляются те же требования, что и к «Жеоду»: форма должна быть наиболее приближена к шарообразной. Разница лишь в том, что создатели этой модели использовали иной способ. Вместо того, чтобы разделять грани, они просто-напросто обрезали вершины. Представьте себе икосаэдр, сделанный из пластилина, и мысленно отрежьте его вершины. После того, как отрезанные вершины будут удалены, на месте двадцати треугольников